Ich nutze 10ohm in-ear Kopfhörer mit doppel Treibern 10mm woofer + 6mm tweeter und die Software wäre Poweramp.
Nur zur Info:
Die Treiber, etc. sagt nicht viel aus. Sony wirbt zB. oft mit (sehr) großen Treibern, aber die Umsetzung derer muss passen! Deswegen spielt Sony immer noch hinter Beyerdynamic, AKG, etc. - aber klar, sie haben auch n paar sehr, sehr gute Modelle.
Ich würde dir ein gebrauchtes iPhone 5S empfehlen.
Habe hier ein AKG K545 und meine Schwester konnte einen Unterschied vom Klang her feststellen zwischen ihrem HTC M8 und meinem iPhone 6. Das iPhone fand sie klanglich besser.
Für die 180,- kannst du am besten bei ebay Kleinanzeigen schauen - und dann auf das S achten, das kriegt dann noch Updates.
Das 4er bekam kein Update mehr iOS 9, das 4S schon, bei der nächsten iOS Version könnt ich mir das vorstellen, dass es genauso beim 5er abläuft.
Alternativ würde ich als Musik Fan/"Audiophiler" mir ein LeTV One Pro zulegen, liegt aber über deinen 180.
Ansonsten gäbe es da noch Xiaomi, leider konnte ich mein altes Mi4 (bereits verkauft) nicht mit guten Kopfhörern testen.

Leider klangen die aber an einer Anlage (auf der Arbeit nur) etwas dumpf, leicht verzerrt. Mit anderen Smartphones is das nicht aufgetreten.
Wenn's dann kein iPhone werden sollte, würd ich schon nach einem Xiaomi Ausschau halten, zB. dem hier:
http://www.kimovil.com/de/wo-kaufen-xiaomi-mi-4i
Liegt im Preisrahmen, hat aber leider keinen SD-Slot und nur 16GB Speicher.
Alternativ gäbe es da noch Meizu, die hatten damals einen der weltbesten MP3-Player rausgebracht. Ich weiss nicht, inwiefern der Sound davon in deren Smartphones steckt.

Preislich wäre es dann das Meizu M2 Note (sogar aus EU lieferbar). Oder warten, bis der Preis vom Meizu Metal ein wenig sinkt. Auf der Homepage werben die sogar für deren Super Sound - aber Werbung eben...hab da persönlich keine Ahnung wie die klingen. Hier kannst was dazu lesen:
http://www.hifi-forum.de/viewthread-125-9177.html
Letztends kommt aber immer
mehr auf die Kopfhörer an, als aufs Smartphone!
